关键词： 教师资格

• *备考没方向？
• *考试时间不清楚？
• *成绩看不懂？
• *考试内容没有掌握？
• *拿证之后何去何从？
• *别人上岸也这么难？

扫码添加专属备考顾问
▪ 0元领取考点真题礼包
▪ 获取1对1备考指导

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.下列命题不正确的是（）
A.平面上到两定点的距离之和为定长（大于两点间的距离）的动点轨迹是椭圆
B.平面上到定点与定直线距离之比为常数p且0
C.平面与圆锥的交线是椭圆
D.满足方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)的平面曲线是椭圆
2.设M为3×3实数矩阵，a为M的实特征值λ的特征向量，则下列叙述正确的是（）
A.当λ≠0时，Ma垂直于aB.当λ>0时，Ma与a方向相反
C.当λ<0时，Ma与a方向相同D.向量Ma与a共线
3.将抛物线Γ：y2=2pz,x=0绕它的对称轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是（）
A.x2+z2=2pyB.x2+y2=2pz
C.y2+z2=2pxD.x2－y2=2pz
4.在下列四个命题的证明中，极限limn→∞a1n=1(a>0,a≠1)起重要作用的是（）
A.正弦函数连续B.指数函数连续
C.多项式函数连续D.limn→∞(1+1n)n=e

5.设函数f(x)=∫x0tln(2+t2)dt，则f′(x)的零点个数为（）
A.0B.1 C.2D.3
6.设M,N为随机事件，P(N)>0，且条件概率P(M|N)=1，则有（）
A.P(M∪N)>P(M)B.P(M∪N)>P(N)
C.P(M∪N)=P(M)D.P(M∪N)=P(N)
7.《普通高中数学课程标准（实验）》的课程目标中提出了五种基本能力，下列不属于这五种基本能力的是（）
A.抽象概括B.数据处理
C.推理论证D.数学交流
8.下列陈述可以作为数学定义的有（）
①不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线；
②无穷小量是无限趋向于0的量；
③渐近线是与曲线很接近的直线。
A.①B.②
C.①②D.①②③
二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
9．若曲线y=x4的一条切线I与直线x+4y-8=0垂直，求切线I的方程。
10．设Q(x)=x3+px+q，且α、β满足方程组3αβ=－p,α3+β3=－q.
（1）证明α+β是Q(x)=0的根；（3分）
（2）写出以α3和β3为根的一元二次方程。（4分）
11．设平面闭区域D={(x,y)|x－y+1≥0,x+y－3≤0且x+3y－3≥0}，求函数f(x,y)=3x－y在D上的小值，并说明理由。
题答要不内线订装线订装线订装题答要不内线订装12．简述高中数学课程的地位和作用。
13．结合实例简要分析数学概念教学的基本要求。
三、解答题（本大题共1小题，10分）
14．设质点作匀速圆周运动，其轨迹为r(t)=(x(t),y(t))，其中x(t)=Rcosωt,y(t)=Rsinωt，速度和加速度分别定义为v(t)=(x′(t),y′(t))和a(t)=(x″(t),y″(t))。
（1）求v(t)和a(t)；（4分）
（2）证明|v(t)|=Rω及|a(t)|=v20R，其中v0=Rω；（3分）
（3）若一飞行器绕地球作匀速圆周运动且只受重力作用（高度可忽略不计），求其飞行速度的大小（设地球半径为6400千米，重力加速度为g=10米/秒2）。（3分）

15.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求，也是评价学生学习的基本内容；评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧。”请分别给出评价学生基础知识与基本技能掌握情况的具体建议，并举例说明。
得分评卷人五、案例分析题（本大题共1小题，20分）
16.某教师在进行幂函数教学时，给学生出了如下一道练习题：
已知(a+1)－2<(1－2a)－2，求a的取值范围。
某学生的解答过程如下：
解：由题意可得
a+1>0,1－2a>0,a+1>1－2aa>－1,a<12,a>00
或a+1>0,1－2a<0,a+1<1－2aa>－1,a>12,a<0无解。
所以，a的取值范围为0,12。
问题：
（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；（8分）
（2）给出你的正确解答（限用幂函数的图象和性质来解答）；（8分）
（3）指出你解题所运用的数学思想方法。（4分）
得分评卷人六、教学设计题（本大题共1小题，30分）
17.“数列”是高中数学修5的内容。《普通高中数学课程标准（实验）》要求学生能“通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型；在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
（1）请设计一道能用等比数列知识解决的实际问题并求解；（20分）
（要求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思）
（2）根据上面的问题情境设计一道开放题或探索题。（10分）

答案：

一、单项选择题
1.C【解析】根据两者位置的不同，平面与圆锥的交线可以是圆、椭圆、抛物线、三角形等形状，所以C不对。
2.D【解析】由已知得Ma=λa，所以Ma与a共线。
3.B【解析】抛物线Γ的对称轴为z轴，旋转一周后的旋转曲面方程为(±x2+y2)2=2pz，化简得x2+y2=2pz。
4.B【解析】正弦函数连续的证明主要用正弦函数的和差化积公式，再结合夹逼法则进行证明；指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)，f(0)=a0=1，证明其在0处连续需要用到limx→0ax=1(a>0,a≠1)；多项式函数连续的证明用到了左极限=右极限=函数值，及连续函数四则运算；极限 limn→∞(1+1n)n=e的证明，利用的是极限存在准则：单调有界数列有极限。
5.B【解析】f′(x)=xln(2+x2)，f″(x)=ln(2+x2)+2x22+x2，显然f″x>0，所以函数f′x是增函数， f′(0)=0，故函数f′x只存在唯一一个零点。
6.C【解析】由已知得P(M|N)=PMNPN=1，∴PMN=PN。又PM∪N=PM+PN－ PMN，∴PM∪N=PM。
7.D【解析】五种基本能力包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理，D不是。
8.A【解析】无穷小量是当自变量趋近于某个定值时，极限值无限趋近于0的量。渐近线是无限接近曲线的直线，不是很接近的直线，表述不规范。
二、简答题
9.【解析】直线I与直线x+4y－8=0垂直，则直线I的斜率为k=－1－14=4，
令y′=4x3=4，可得x=1，代入y=x4，得y=1，
故切线I的方程为y－1=4(x－1)，即y－4x+3=0。
10.【解析】（1）证明：将α+β代入方程Qx=x3+px+q，得
Q(α+β)=(α+β)3+p(α+β)+q=α3+β3+3αβ(α+β)+p(α+β)+q=－q－p(α+β)+p(α+β)+q=0，
所以α+β是Q(x)=0的根。
（2）由3αβ=－p,α3+β3=－q可得α3β3=－127p3,α3+β3=－q.
根据一元二次方程根与系数的关系，令－q=－ba－127p3=ca，取a=1，得b=q,c=－127p3，
得出以α3和β3为根的一元二次方程为x2+qx－127p3=0。
11.【解析】在坐标系中画出平面闭区域D，令z=3x－y，上下平移直线3x－y=0，当f(x,y)=3x－y经过区域D的左端点时，z取到小值，此时f(x,y)min=f(0,1)=－1。

12.【参考答案】高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中基本的内容，是培养公民素质的基础课程。
高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。
13.【参考答案】数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，数学概念学习的本质就是概括出数学中一类事物对象的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。数学概念教学的基本要求有以下几点：
（1）加强对数学概念的解剖分析。数学概念是借助于数学语言符号来表达的，其用语、用词一般都非常严密、精练，具有高度的概括性，因而，有的概念叙述十分简练，寓意深刻；有的用符号、式子表示，比较抽象，对这些概念，教师须抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性。
（2）利用变式，突出概念的本质属性。变式是指概念例证在非本质属性方面的变化，利用变式的目的是通过非本质属性的变化来突出本质属性，使学生获得的概念更精确、更稳定。
（3）注意概念的对比和直观化。数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能将它们有机地联系在一起进行类比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果，例如分数和分式的类比，数列极限和函数极限的类比，平面几何与立体几何的类比等。有些数学概念之间，联系紧密，差别较小，形式相似，容易被学生混淆，对这些概念，就要让学生比较他们的内涵和外延，在比较中加以鉴别，澄清模糊。
（4）注意概念体系的建构。在数学概念教学中，不但要使学生掌握单个的概念，而且还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认知结构，新概念是在原有概念的基础之上形成的，或是原有概念的限制、延伸或扩充。因此，新旧概念之间有着内在的联系，如相邻关系、对立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关系、并列关系等，这些联系是构建概念体系的前提。在经过每一章节的学习之后，应引导学生将所学的概念加以整理、归类，厘清概念之间的关系，特别是种属关系，将这些概念联点串线，建立章节或学科的概念网络体系，使概念纵横贯通，有助于学生深化对概念的理解，学生一旦形成了这样的概念体系，不仅有利于概念的储存和检索，而且有助于理解和吸收新概念。
（5）注意概念产生的背景。为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念，关键的问题是不仅要让学生知道一节课学习的内容，更要让学生知道为什么要学这个内容，由“知其然”发展到“知其所以然”，即使是教师直接告诉学生课题，也要作出充分的铺垫，使得学生觉得这个时候学习这个内容是应该的，自然而然的，不至于产生从天上掉下一个概念的感觉，长此以往，学生就会逐渐在学习过程中自己给自己提出下一步要研究的问题，发展自我探求知识的能力。
三、解答题
14.【解析】（1）v(t)=(x′(t),y′(t))=(－Rωsinωt,Rωcosωt)，
a(t)=(x″(t),y″(t))=v′(t)=(－Rω2cosωt,－Rω2sinωt)。
（2）证明：|v(t)|=(－Rωsinωt)2+(Rωcosωt)2=Rω，
|a(t)|=Rω2=(Rω)2R=v20R。
（3）飞行器绕地球作匀速圆周运动且只受重力作用，故其加速度即为重力加速度，|a(t)|=g，由a(t)=v20R得速度大小为v=gR=10×6400000m/s=8千米/秒。
四、论述题
15.【参考答案】（1）评价对数学的理解，可以关注学生能否独立举出一定数量的用于说明问题的正例和反例。特别地，对概念学习的评价应该在高中数学学习的整个过程中予以关注。
（2）评价应关注学生能否建立不同知识之间的联系，把握数学知识的结构、体系。
（3）对数学基本技能的评价，应关注学生能否在理解方法的基础上，针对问题特点进行合理选择，进而熟练运用。
（4）数学语言具有精确、简约、形式化等特点，能否恰当地运用数学语言及自然语言进行表达与交流也是评价的重要内容。
五、案例分析题
16.【参考答案】（1）在a+1>0,1－2a<0的情况下，a+1与1－2a的关系应为a+1>|1－2a|，即a+1+(1－2a)>0。该生可能受思维惯式的影响，认为在前一种情况下a+1>1－2a，则在第二种情况下应有a+1<1－2a，造成错误。
另外该生仅考虑了a+1>0,1－2a>0与a+1>0,1－2a<0两种情况，而应该再考虑a+1<0,1－2a<0和a+1<0,1－2a>0时，a+1与1－2a应该满足的关系。由于多数题目都在正数范围内考虑，该生可能仍然认为a+1>0，而忽略了a+1<0的另外两种情况。
（2）(a+1)－2<(1－2a)－2，即1(a+1)2<1(1－2a)2(a+1)2>(1－2a)2，
幂函数y=x2的图象关于y轴对称，在y轴左侧单调递减，在y轴右侧单调递增，要使(a+1)2> (1－2a)2，则a+1应比1－2a距离对称轴更远，
根据题意可得a+1>0,1－2a>0,a+1>1－2aa>－1,a<12,a>00
或a+1>0,1－2a<0,a+1+(1－2a)>0a>－1,a>12,a<212
或a+1<0,1－2a<0,a+1－(1－2a)<0a<－1,a>12,a<0无解，
或a+1<0,1－2a>0,a+1+(1－2a)<0a<－1,a<12,a>2无解，
综上，a的取值范围为0
（3）运用了转化与化归、分类讨论、数形结合的思想。
六、教学设计题
17.【参考答案】（1）①创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？
师生互动：引导学生写出麦粒总数1+2+22+23+…+263。带着这样的问题，学生们动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。
②师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，接着问：1,2,22,23,…,263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？
学情预设：
探讨1：设S64=1+2+22+23+…+263，记为（a）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（a）式两边同乘以2则有2S64= 2+22+23+…+264，记为（b）式。比较（a）（b）两式，你有什么发现？
— 177 —— 178 —— 179 —— 180 —经过比较、研究，学生发现：（a）（b）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S64=264－1
老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。
反思：为什么（a）式两边要同乘以2呢？
③故事结束，首尾呼应
后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。
④教学反思
对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，采用“问题—探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
（2）引导学生将结论一般化，设等比数列an，首项为a1，公比为q，如何求前n项和Sn？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板解答，然后对个别学生进行指导。
学情预设：在学生推导完成后，再问：由1－qSn=a1－a1qn得Sn=a1－a1qn1－q对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时Sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出的公式同时为后面的例题教学打下基础）
再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn－1，如何把Sn用a1，an，q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

2024教资上岸大本营

• 考试公告
• 成绩查询
• 资格认定
• 备考讲座

扫码进群，备考路上不孤独，互帮互助，共同上岸！

点击打开